1. 变化率的微分模型
导数可视为“单位自变量变化引起的因变量变化”。设 \(y=f(x)\)，则 \(f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\tfrac{\Delta y}{\Delta x}\)。在建模中：速度、增长率、边际量、流量等均可用导数描述。
2. 复合关系与链式法则
若 \(y=f(u),\ u=g(x)\)，则 \(\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy}{du}\cdot\tfrac{du}{dx}\)。常见于几何量（面积/体积）关于半径或时间的变化率。
3. 最值与二阶判别
- 驻点：\(f'(x)=0\)；单调性：\(f'(x)\) 符号；凹凸性：\(f''(x)\) 符号
- 二阶判别：\(f''(a)>0\Rightarrow\) 极小；\(f''(a)<0\Rightarrow\) 极大
4. 常用模型模板
- 球体：\(V=\tfrac{4}{3}\pi r^3,\ A=4\pi r^2\Rightarrow \tfrac{dV}{dr}=4\pi r^2\)
- 圆柱：体积/表面积与约束，化为单变量后求极值
- 扇形/复合图形：周长/面积函数 + 约束，导数求最值
学习建议：先写出目标量与约束，化简为单变量函数，再求导找驻点、判别性质并回代单位。